幾何探究實驗室
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📝 前測：你對圓心角和弧長了解多少？

請先完成以下 3 題，幫助我們了解你的先備知識。不用擔心答錯，這只是為了幫助你學習！

問題 1
同一個圓中，如果圓心角是 60°，那麼這個圓心角所對應的弧 AB 的度數是多少？
問題 2
兩個圓的圓心角都是 90°，但半徑不同 (r₁=50, r₂=100)，請問它們所對應弧的度數：
問題 3
一個半徑為 r 的圓，若圓心角為 x°，下列哪個公式可以算出弧長 L？

Stage 1: 測量與發現

目標：測量不同半徑下的弧度數與弧長

小 大
拖曳中心點=移動 | 拖曳虛線區=旋轉 | 滾輪=縮放
🎯 兩段式探索

第一段：量每個弧的「弧度數」

第二段：再量每個弧對應的「圓心角」

📐 第一段：量弧度數
  1. 點選下方 小圓 / 中圓 / 大圓 切換
  2. 拖曳量角器，讓兩條臂對齊弧的兩端點
  3. 讀出度數，填入表格「弧度數」欄
📊 測量進度
0 / 6 完成0%
📏 測量記錄
圓 半徑 弧度數
（Phase 1）		 圓心角
（Phase 2）
小 60
中 90
大 120
💡 快速提示
  • 中心點：拖曳移動
  • 虛線區：拖曳旋轉
  • 紅藍點：調整角度
  • 滾輪：縮放大小

Stage 2: 位置與弧長

目標：觀察弧的位置是否影響弧長

60°
拖曳彩色弧可移動位置
🔍 觀察問題
問題 1：移動後，這三個弧所夾出的「開口大小」（圓心角）有變化嗎？
問題 2：雖然位置變了，但弧的「長短」看起來有變嗎？（可嘗試將弧重疊比對）
還記得 Stage 1 你用量角器量的那個角嗎？
觀察這三個弧，雖然在圓周上的位置不同，但它們張開的程度（即 ）皆相同。
💡 提示：調整角度滑桿時，這個值會跟著變；移動弧的位置時，它卻不改變。
決定弧「張開程度」的量，叫做什麼？
問題 4：如果你把弧 1 旋轉到弧 3 的位置，它們會完全重疊嗎？
💡 快速提示
  • 拖曳弧：改變位置
  • 觀察：圓心角是否變化

Stage 2: 歸納與結論

觀察左圖證據，回答右側問題。每區獨立思考。

💬 你在上一步發現了圓心角與圓周角的 2 倍關係，
現在讓我們回來看弧長——它和圓心角又有什麼關係？
證據 A：同角度，不同半徑 （圖中數值來自你在 Stage 1 的實測結果）
問題 1
當圓心角相同時，以下哪些敘述正確？

📊 先填填看：算出每個圓的「弧長 ÷ 半徑」

圓 半徑 弧長 弧長 ÷ 半徑 ≈
小圓 60 —
中圓 90 —
大圓 120 —

💡 三個比值相不相近？如果每次半徑變大 x 倍，弧長也跟著變大 x 倍，這就叫做「成正比」！

證據 B：同一圓，不同位置
問題 2
關於弧的位置與弧長的關係，哪個正確？
證據 C：弧長公式的幾何意義
角度 x° 90°
半徑 r 1.0
角度占比 : x° / 360° 25.0%
= 同一比例
弧長占比 : L / (2πr) 25.0%

拖動滑桿時，注意兩條進度條是否始終等長——這說明了什麼？

💡 觀察要點：拖動「角度 x°」滑桿，兩條進度條會同步變化——這說明弧長占整圈的比例，恰好等於角度占 360° 的比例。
再拖動「半徑 r」滑桿，進度條不變，但圓本身在縮放——弧長的絕對值因此改變。
問題 3
觀察左圖，最好的說明是？

🤔 最終挑戰：你的發現

完成以下兩題來驗證你的結論！

發現一
經過這三次證據的搜集，你覺得決定一條弧長短的最關鍵『兩位主角』是誰？
發現二
在同一個中心的兩個同心圓軌道上，大衛在半徑較小的內圈，小明在半徑較大的外圈。兩人同時繞中心轉動 90度。誰走的距離比較長？為什麼？
🧮 計算機